ВСОШ 2024, 9 класс, задача 7
( баллов) На окружности длиной метр отмечена точка. Из неё в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча?
(И. Богданов)
Ответ
Ответ. На нулевом.
Первое решение. Назовём быстрого и медленного таракана и соответственно. Если таракан бежит в том же направлении, что и в момент старта, то будем говорить, что он бежит вперёд, в противном случае будем говорить, что он бежит назад.
До первой встречи оба таракана бегут вперёд, между первой и второй встречами бежит вперёд, а — назад. Между второй и третьей встречами оба таракана бегут назад, а между третьей и четвёртой встречами бежит назад, а — вперёд. Наконец, на четвёртой встрече разворачивается, и они оба снова начинают бег вперёд.
Будем следить за перемещением . Если между двумя встречами тараканы бегут в противоположные стороны, между такими встречами всегда проходит одно и то же время, а значит, всегда пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, между первой и второй встречами, а также между третьей и четвёртой встречами пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Аналогично, когда между двумя встречами тараканы бегут в одном направлении, это тоже всегда занимает одинаковое время, и пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, до первой встречи, а также между второй и третьей встречами также пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Стало быть, в момент четвёртой встречи (а значит, и ) будет в точке старта.
Далее эта ситуация будет повторяться каждые встречи. Следовательно, в точке старта тараканы будут и в момент сотой встречи.
Второе решение. Обозначим тараканов так же, как и выше; пусть их скорости равны м/с. Для определённости будем считать, что изначально тараканы бегут по часовой стрелке, и расстояние будем отмерять именно в этом направлении.
Когда тараканы бегут в одну сторону, скорость удаления от равна , поэтому до первой встречи они будут бежать секунд, и до встречи пробежит метров. Дальше тараканы будут двигаться навстречу друг другу со скоростью сближения , поэтому до второй встречи они будут бежать секунд, и до этой встречи сместится от точки старта на метров.
Дальше оба таракана будут бежать против часовой стрелки в течение секунд, поэтому общее смещение от точки старта будет равно (т.е. в итоге он сместится на расстояние против часовой стрелки). Наконец, после этого развернётся, и они будут бежать в противоположных направлениях секунд. Следовательно, их четвёртая встреча произойдёт на расстоянии от точки старта.
Таким образом, в четвёртый раз они обязательно встречаются в точке старта и после встречи снова побегут по часовой стрелке. Но тогда их сотая встреча также произойдёт в точке старта.
При рассуждениях как во втором решении участники могут рассуждать не в терминах перемещения , а в терминах «расстояния от точки старта». Формально эти рассуждения могут быть не совсем верны, ибо тараканы до встречи могут пробежать несколько кругов. Однако предлагается в случаях, когда решение в остальном верно, за это баллов не снижать.