ВсОШ 2023, 9 класс, задача 9
( баллов) Найдите наибольшее число такое, что для любых положительных чисел , и , сумма которых равна , выполнено неравенство
(Л. Емельянов)
Ответ
Ответ. .
Первое решение. Докажем сначала, что удовлетворяет требованиям задачи. Заметим, что . Следовательно,
Значит, осталось доказать неравенство
Возведём это неравенство в квадрат; оно примет вид
После сокращения слева останется сумма корней, а справа — . Но любой из корней не меньше, чем ; действительно, например, . Отсюда и следует требуемое.
Осталось доказать, что при любом неравенство выполнено не всегда; достаточно это сделать при . Пусть при . Положим и . Тогда , однако
Второе решение. Приведём другое доказательство того, что подходит. Для этого докажем, что если — наибольшее из чисел , , , то верно даже неравенство
Обозначим , ; заметим, что , поэтому . Левая часть неравенства выше переписывается как
Значит, нам достаточно доказать, что
Возводя это неравенство в квадрат, получаем
после сокращения подобных слагаемых получаем, что нам достаточно доказать неравенство
Наконец, это неравенство вытекает из неравенств (поскольку ) и
где мы применили неравенство о средних.
Только пример, показывающий, что при любом неравенство выполнено не всегда.
Только доказательство того, что удовлетворяет требованиям задачи.