1. Олимпиады
  2. ВСОШ

Региональный (9–11 классы)

11 класс

Первый тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Можно ли число 2023 представить в виде суммы трёх натуральных чисел a, b, c таких, что a делится на b+c и b+c делится на b-c+1? (А. Кузнецов)
Простая
Теория чисел

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Даны различные вещественные числа a1,a2,a3 и b. Оказалось, что уравнение (x-a1)(x-a2)(x-a3)=b имеет три различных вещественных корня c1,c2,c3. Найдите корни уравнения (x+c1)(x+c
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2023, 10, 11 классы, задача 3

(7 баллов) В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдётся школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиа
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 4

(7 баллов) На доску записывают пары чисел. Сначала на доску записали пару чисел (1,2). Если на доске написана пара чисел (a,b), то на доску можно дописать пару (-a,-b), а также пару (-b,a+b). Кроме того, если на доске написаны пары чисел (a,b) и (c,d), то на доску можно дописать пару (a+c,b+d). Могл
Сложная
Теория чисел

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 5

(7 баллов) В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH, медиана AM, а также отмечен центр O его описанной окружности ω. Отрезки OH и AM пересекаются в точке D, прямые AB и CD — в точке E, прямые BD и AC — в точке F. Лучи EH и FH пересекают окружность ω в точках X и Y. Докаж
Сложная
Планиметрия

Второй тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2023, 9, 10, 11 классы, задача 6

(7 баллов) Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1,2,ldots,n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1=4Sm? (А. Кузнецов)
Простая
Теория чисел

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7

(7 баллов) Назовём два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходног
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. На биссектрисе угла ABC внутри треугольника ABC отмечена точка D, а на отрезке BD — точка E так, что AE=BE и BD=CD. Точки P и Q — центры окружностей, описанных около треугольников AOE и COD соответстве
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 9

(7 баллов) Даны ненулевые числа a, b, c. Докажите, что выполняется неравенство |frac ba-frac bc|+|frac ca-frac cb|+|bc+1|>1. (А. Кузнецов)
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 10

(7 баллов) В стране 2n городов (n — натуральное), некоторые из них соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями. Из любого города можно попасть в любой другой, возможно, с пересадками. Президент хочет разделить страну на две области и включить каждый город в одну из двух областей. При этом ави
Очень сложная
Комбинаторика

10 класс

Первый тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 1

(7 баллов) В таблице 6 × 6 изначально записаны нули. За одну операцию можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу, в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различными положительными числами? (А. Кузнецов, П. К
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9, 10 классы, задача 2

(7 баллов) Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2) численно равна периметру (измеренному в см)? (Д. Храмцов)
Простая
Планиметрия

ВсОШ 2023, 10, 11 классы, задача 3

(7 баллов) В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдётся школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиа
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Даны натуральные a, b, c такие, что a>1, b>c>1, а число abc+1 делится на ab-b+1. Докажите, что b делится на a. (М. Антипов)
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 5

(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BD и отмечена точка пересечения высот H. Серединный перпендикуляр к отрезку HD пересекает окружность, описанную около треугольника BCD, в точках P и Q. Докажите, что angle APB+angle AQB=180circ. (М. Туревский, М. Дидин)
Сложная
Планиметрия

Второй тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2023, 9, 10, 11 классы, задача 6

(7 баллов) Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1,2,ldots,n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1=4Sm? (А. Кузнецов)
Простая
Теория чисел

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа a0,a1,ldots,a9 и написал на доске уравнение a9x9+a8x8+ldots+a2x2+a1x+a0=*. Докажите, что Вася сможет вместо звёздочки
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 8

(7 баллов) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. На стороне AB выбрана точка L так, что AL=CK. Отрезки AK и CL пересекаются в точке M. На продолжении отрезка AD за точку D отмечена точка N. Известно, что четырёхугольник ALMN — вписанный. Докажите, что angle CNL=90<
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Дано натуральное число k. Вдоль дороги стоят n столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в k цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем n
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 10

(7 баллов) Докажите, что для любых трёх положительных вещественных чисел x, y, z выполнено неравенство (x-y)√(3x2+y2)+(y-z)√(3y2+z2)+(z-x)√(3z2+x2)ge0. (П. Бибиков)
Средняя
Алгебра

9 класс

Первый тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфа
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 9, 10 классы, задача 2

(7 баллов) Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2) численно равна периметру (измеренному в см)? (Д. Храмцов)
Простая
Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 3

(7 баллов) Дано натуральное число n. На клетчатой доске 2n × 2n расставили 2n ладей так, что никакие две не стоят в одной горизонтали или одной вертикали. После этого доску разрезали по линиям сетки на две связных части, симметричных друг другу относительно центра доски. Какое наибольшее количество
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 4

(7 баллов) Даны натуральные числа a, b и c. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число abc+1 делится на ab-b+1. Докажите, что cge b. (М. Антипов)
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 5

(7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность γ. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке S. Пусть точки M и N — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что перпендикуляр ell к прямой MN, восставленный
Сложная
Планиметрия

Второй тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2023, 9, 10, 11 классы, задача 6

(7 баллов) Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1,2,ldots,n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1=4Sm? (А. Кузнецов)
Простая
Теория чисел

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 7

(7 баллов) На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали dfrac{99 · 98}{2} чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть d — наибольшее число, записанное в тетрадке.
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 8

(7 баллов) Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 9

(7 баллов) Найдите наибольшее число m такое, что для любых положительных чисел a, b и c, сумма которых равна 1, выполнено неравенство √((ab/c+ab))+√((bc/a+bc))+√((ca/b+ca))ge m. (Л. Емельянов)
Сложная
Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 10

(7 баллов) Куб 100 × 100 × 100 разбит на миллион единичных кубиков; в каждом кубике расположена лампочка. Три грани большого куба, имеющие общую вершину, окрашены: одна красным, другая синим, а третья зелёным. Назовём столбцом набор из 100 кубиков, образующих блок 1 × 1 × 100. У каждого из 30,000 ст
Сложная
Комбинаторика