ВсОШ 2023, региональный этап, 9 класс, задача 1
( баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфальтового участка, а также в середине песчаного. Кто из мальчиков затратил на всю дорожку меньше времени?
(И. Богданов)
Ответ
Ответ. Они затратили поровну времени.
Первое решение. Между двумя моментами встречи каждый мальчик проехал половину асфальтового и половину песчаного участков, и они затратили на это поровну времени. Значит, на всю дорожку каждый из них затратил вдвое больше времени, то есть тоже поровну.
Второе решение. Нарисуем графики движения мальчиков по дорожке: на горизонтальной оси отмечаем время , на вертикальной — положение мальчика, считая от начала дорожки.
Пусть , , — точки, соответствующие старту Пети, моменту, когда он перешёл с асфальтового участка на песчаный, и его финишу; пусть , , — аналогичные точки для Васи. Тогда графики движения мальчиков — это ломаные и , при этом отрезки , и горизонтальны (см. рис. ).
По условию, середины отрезков и совпадают, откуда — параллелограмм. Аналогично, — параллелограмм. Значит, отрезки , и параллельны и равны. Поэтому между моментами финиша Пети и Васи прошло столько же времени, сколько и между моментами их старта; отсюда и следует ответ.