ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7

Простая

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2023, 10 класс, Второй тур

( баллов) Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа и написал на доске уравнение

Докажите, что Вася сможет вместо звёздочки написать некоторое -значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.

(А. Кузнецов, А. Антропов)

Ответ

Решение. Пусть — десятичная запись трёхзначного числа . Подстановка в левую часть уравнения даёт

Таким образом, после подстановки вместо звёздочки -значного числа получится уравнение, имеющее корень .

Заявлено, но не доказано, что при последовательной подстановке значения левой части не «перепрыгнут» через -значные числа.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Сергей утверждает, что нашёл различные вещественные числа x,y,z такие, что dfrac1{x²+x+1}+dfrac1{y²+y+1}+dfrac1{z²+z+1}=4. Могут ли слова Сергея быть правдой? (П. Кожевников, фольклор)

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 9 и 11 классы, задача 6

Последовательность чисел a₁,a₂,ldots,a₂₀₂₂ такова, что a_n-a_kge n³-k³ для любых n и k таких, что 1le nle 2022 и 1le kle 2022. При этом a₁₀₁₁=0. Какие значения может принимать a₂₀₂₂? (Н. Агаханов)

Простая

Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфа

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 10 и 11 классы, задача 2

Дан квадратный трёхчлен P(x). Докажите, что существуют попарно различные числа a, b и c такие, что выполняются равенства P(b+c)=P(a),qquad P(c+a)=P(b),qquad P(a+b)=P(c). (Н. Агаханов)

Простая

Алгебра