ВсОШ 2022, 9 и 11 классы, задача 6

Простая
Алгебра
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2022, 9 класс, Второй турВсероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2022, 11 класс, Второй тур

Последовательность чисел такова, что для любых и таких, что и . При этом . Какие значения может принимать ?

(Н. Агаханов)

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. .

Решение. Записывая условие при , и при , , получаем

и

то есть . Отсюда и следует ответ.

Замечание. Последовательность, удовлетворяющая условию, существует, а именно . Более того, аналогично решению выше несложно показать, что такая последовательность единственна. Однако для решения задачи не требуется ни находить все такие последовательности, ни даже приводить пример такой последовательности.

1

Доказано, что .

7
2

Доказано только, что (или только ).

1
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Сергей утверждает, что нашёл различные вещественные числа x,y,z такие, что dfrac1{x2+x+1}+dfrac1{y2+y+1}+dfrac1{z2+z+1}=4. Могут ли слова Сергея быть правдой? (П. Кожевников, фольклор)
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа a0,a1,ldots,a9 и написал на доске уравнение a9x9+a8x8+ldots+a2x2+a1x+a0=*. Докажите, что Вася сможет вместо звёздочки
Простая
Алгебра

ВсОШ 2022, 10 и 11 классы, задача 2

Дан квадратный трёхчлен P(x). Докажите, что существуют попарно различные числа a, b и c такие, что выполняются равенства P(b+c)=P(a),qquad P(c+a)=P(b),qquad P(a+b)=P(c). (Н. Агаханов)
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфа
Простая
Алгебра