ВСОШ 2024, 10 класс, задача 6

Простая
Алгебра
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2024, 10 класс, Второй тур

( баллов) Сергей утверждает, что нашёл различные вещественные числа такие, что . Могут ли слова Сергея быть правдой?

(П. Кожевников, фольклор)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Не могут.

Решение. Заметим, что , причём равенство достигается только при . Тогда первое слагаемое всегда положительно и не превосходит . То же верно и для других слагаемых. Значит, левая часть уравнения Сергея не превышает , причём равенство достигается лишь при , значит, равенство невозможно для различных .

Замечание. Неравенство может быть доказано по-разному, например, исследованием квадратичной функции .

1

Верно доказано неравенство или верно найдена область значений функции .

5
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 и 11 классы, задача 6

Последовательность чисел a1,a2,ldots,a2022 такова, что an-akge n3-k3 для любых n и k таких, что 1le nle 2022 и 1le kle 2022. При этом a1011=0. Какие значения может принимать a2022? (Н. Агаханов)
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфа
Простая
Алгебра

ВсОШ 2022, 10 и 11 классы, задача 2

Дан квадратный трёхчлен P(x). Докажите, что существуют попарно различные числа a, b и c такие, что выполняются равенства P(b+c)=P(a),qquad P(c+a)=P(b),qquad P(a+b)=P(c). (Н. Агаханов)
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа a0,a1,ldots,a9 и написал на доске уравнение a9x9+a8x8+ldots+a2x2+a1x+a0=*. Докажите, что Вася сможет вместо звёздочки
Простая
Алгебра