1. Олимпиады
  2. ВСОШ

Региональный (9–11 классы)

11 класс

Первый тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2024, 9, 10, 11 классы, задача 1

(7 баллов) У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 × 1, 1 × 2, 1 × 3, ldots, 1 × 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? (О. Подлипский)
Средняя
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Пусть x122024 — возрастающая последовательность натуральных чисел. При i=1,2,ldots,2024 обозначим pi=(x1-dfrac1{x1})(x2-dfrac1{x2})ldots(xi-dfrac1{xi}). Какое наибольшее количество натураль
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2024, 10, 11 классы, задача 3

(7 баллов) По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной ещё не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее
Сложная
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 4

(7 баллов) На отрезке XY как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка Z на этом отрезке. Девять лучей из точки Z делят развёрнутый угол XZY на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках A1,A2,ldots,A9 соответственно (в порядке обхо
Сложная
Планиметрия

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 5

(7 баллов) Уравнение t4+at3+bt2=(a+b)(2t-1) имеет положительные решения t1234. Докажите, что t1t4>t2t3. (М. Антипов)
Очень сложная
Алгебра

Второй тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 6

(7 баллов) У учителя есть 100 гирь массами 1 г, 2 г, ldots, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее: никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями, а также никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями. Сможе
Простая
Теория чисел

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 7

(7 баллов) График G1 квадратного трёхчлена y=px2+qx+r с вещественными коэффициентами пересекает график G2 квадратного трёхчлена y=x2 в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G2 пересекаются в точке C. Оказалось, что точка C лежит на
Средняя
Алгебра

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 8

(7 баллов) В пространстве расположены отрезки AA1, BB1 и CC1 с общей серединой M. Оказалось, что сфера ω, описанная около тетраэдра MA1B1C1, касается плоскости ABC в точке D. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника AB
Средняя
Стереометрия

ВсОШ 2024, 9, 11 классы, задача 9

(7 баллов) Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовём множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одно
Сложная
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 10

(7 баллов) Дано натуральное число n>100. Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите, что Петя может добиться того,
Очень сложная
Комбинаторика

10 класс

Первый тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2024, 9, 10, 11 классы, задача 1

(7 баллов) У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 × 1, 1 × 2, 1 × 3, ldots, 1 × 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? (О. Подлипский)
Средняя
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 2

(7 баллов) На координатной плоскости нарисована парабола y=x2. Для данного числа k>0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что продо
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2024, 10, 11 классы, задача 3

(7 баллов) По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной ещё не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее
Сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2024, 9, 10 классы, задача 4

(7 баллов) В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500. (С. Берлов)
Средняя
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB являются вершинами выпуклого четырёхугольника, периметр которого равен P. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников AOB,
Сложная
Планиметрия

Второй тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Сергей утверждает, что нашёл различные вещественные числа x,y,z такие, что dfrac1{x2+x+1}+dfrac1{y2+y+1}+dfrac1{z2+z+1}=4. Могут ли слова Сергея быть правдой? (П. Кожевников, фольклор)
Простая
Алгебра

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой? (П. Кожевников)
Простая
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 8

(7 баллов) Дан четырёхугольник ABCD, в котором angle A=angle C=90circ. Известно, что его вершины A и D вместе с серединами сторон AB и BC лежат на одной окружности. Докажите, что вершины B и C вместе с серединами сторон AD и DC тоже лежат на одной окружности. (А. Кузнецов)
Сложная
Планиметрия

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел a,b,c такие, что каждое из чисел a+bc, b+ca, c+ab является простым делителем числа (a2+1)(b2+1)(c2+1). (А. Чиронов, И. Богданов)
Сложная
Теория чисел

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 10

(7 баллов) Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причём дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что все рыцари отвечали на вопрос верно, а все лжецы изме
Сложная
Комбинаторика

9 класс

Первый тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВсОШ 2024, 9, 10, 11 классы, задача 1

(7 баллов) У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 × 1, 1 × 2, 1 × 3, ldots, 1 × 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? (О. Подлипский)
Средняя
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 2

(7 баллов) На координатной плоскости нарисована парабола y=x2. Для данного числа k>0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что диаго
Средняя
Планиметрия

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 3

(7 баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для игры в настольный теннис навылет всех жителей острова разделили на две команды A и B, причём в A жителей было больше, чем в B. Начали игру два игрока разных команд; после каждой партии проигравший иг
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2024, 9, 10 классы, задача 4

(7 баллов) В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500. (С. Берлов)
Средняя
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 5

(7 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На продолжениях боковых сторон AB и BC за точку B отмечены точки D и E соответственно, а на основании AC отмечена точка F, причём AC=DE и angle CFE=angle DEF. Докажите, что angle ABC=2angle DFE. (А. Кузнецов)
Сложная
Планиметрия

Второй тур

PDF
Задания, решения и критерии

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 6

(7 баллов) На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске. (И. Богданов)
Средняя
Алгебра

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 7

(7 баллов) На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из неё в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались
Сложная
Алгебра

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 8

(7 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что BP=PQ=QC. Точки X и Y выбраны соответственно на отрезках AC и AB так, что PXperp AC и QYperp AB. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC равноудалена от прямых XQ и YP. (А. Матвеев)
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2024, 9, 11 классы, задача 9

(7 баллов) Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовём множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одно
Сложная
Комбинаторика

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 10

(7 баллов) Существует ли натуральное число n>10100 такое, что десятичные записи чисел n2 и (n+1)2 отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел n2 и (n+1)2 должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, ldots, поровну циф
Сложная
Теория чисел