ВСОШ 2024, 9 класс, задача 6
( баллов) На доске записано различных чисел, сумма которых равна . Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.
(И. Богданов)
Ответ
Ответ. .
Решение. Для каждого числа , написанного на доске, произведение и суммы шести оставшихся равно . Квадратичная функция принимает все значения, кроме максимального, два раза — а именно, в точках и . Значит, если при , то .
Таким образом, каждое число встречается в тетради не более двух раз. Значит, так как в тетради всего четыре различных числа, три из них встречаются по два раза, и ещё одно — один раз. Таким образом, шесть из семи чисел на доске разбиваются на пары так, что сумма чисел каждой пары равна . Значит, сумма этих шести чисел равна , тогда седьмое число равно .
Замечание 1. На доске могли быть выписаны любые семь чисел вида , , , , , , (если все эти семь чисел различны). Значит, ни одно число с доски, кроме , определить невозможно.
Замечание 2. Можно провести и прямое рассуждение, без ссылок на свойства квадратичной функции. Например, если , то , поэтому либо , либо .
Доказано только, что в тетради три числа встречаются по два раза, а четвёртое — один раз.