ВсОШ 2023, 11 класс, задача 2
( баллов) Даны различные вещественные числа и . Оказалось, что уравнение имеет три различных вещественных корня . Найдите корни уравнения .
(А. Антропов, К. Сухов)
Ответ
Ответ. , и .
Первое решение. Так как многочлен имеет старший коэффициент и корни , то . Подставим в последнее равенство вместо , получим , что равносильно . Из полученного равенства получаем, что тремя корнями уравнения являются числа , , .
Второе решение. По теореме Виета выполняются следующие соотношения:
Эти же равенства можно переписать следующим образом:
из чего следует, что числа , и являются корнями уравнения .
Замечание. Если в первое уравнение подставить вместо числа , и , то из полученных трёх равенств , и непосредственно не следует, например, что .
Верный ответ без обоснования.
Алгебраические преобразования, не приведшие к обоснованию ответа, баллы не добавляются.