ВСОШ 2024, 11 класс, задача 2
( баллов) Пусть — возрастающая последовательность натуральных чисел. При обозначим . Какое наибольшее количество натуральных чисел может содержаться среди чисел ?
(Н. Агаханов)
Ответ
Ответ. .
Первое решение. Заметим, что число не может быть натуральным. Действительно, если , то , если же , то — не целое, как разность целого и нецелого чисел. Поэтому натуральными могут быть не более чисел .
Покажем, как получить натуральных числа. Если , , то . При положим . Тогда также будет натуральным.
Второе решение. Приведём другой пример последовательности, дающий натуральных числа. Положим , , , . Тогда . Тогда
что является натуральным числом при .
Замечание. Подходят любые последовательных натуральных числа, больших .
Ответ без обоснования.
Только оценка.
Только пример.
Приведён верный пример последовательности, но не обосновано, что она подходит.