ВСОШ 2024, региональный этап, 11 класс, задача 2

( баллов) Пусть — возрастающая последовательность натуральных чисел. При обозначим . Какое наибольшее количество натуральных чисел может содержаться среди чисел ?

(Н. Агаханов)

Ответ

Ответ. .

Первое решение. Заметим, что число не может быть натуральным. Действительно, если , то , если же , то — не целое, как разность целого и нецелого чисел. Поэтому натуральными могут быть не более чисел .

Покажем, как получить натуральных числа. Если , , то . При положим . Тогда также будет натуральным.

Второе решение. Приведём другой пример последовательности, дающий натуральных числа. Положим , , , . Тогда . Тогда

что является натуральным числом при .

Замечание. Подходят любые последовательных натуральных числа, больших .

Ответ без обоснования.

Только оценка.

Только пример.

Приведён верный пример последовательности, но не обосновано, что она подходит.

≥5

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2024, региональный этап, 11 класс, задача 7

(7 баллов) График G₁ квадратного трёхчлена y=px²+qx+r с вещественными коэффициентами пересекает график G₂ квадратного трёхчлена y=x² в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G₂ пересекаются в точке C. Оказалось, что точка C лежит на

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 10 класс, задача 10

(7 баллов) Докажите, что для любых трёх положительных вещественных чисел x, y, z выполнено неравенство (x-y)√(3x²+y²)+(y-z)√(3y²+z²)+(z-x)√(3z²+x²)ge0. (П. Бибиков)

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2022, региональный этап, 9 класс, задача 3

Дан квадратный трёхчлен P(x), не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых a и b разность P(a)-P(b) является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел (c,d), что разность P(c)-P(d) также является квадратом натурального чи

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Даны различные вещественные числа a₁,a₂,a₃ и b. Оказалось, что уравнение (x-a₁)(x-a₂)(x-a₃)=b имеет три различных вещественных корня c₁,c₂,c₃. Найдите корни уравнения (x+c₁)(x+c

Средняя

Алгебра