ВсОШ 2023, региональный этап, 10 класс, задача 10

( баллов) Докажите, что для любых трёх положительных вещественных чисел , , выполнено неравенство

(П. Бибиков)

Ответ

Решение. Докажем, что . Если , то и . Если же , то и .

Складывая доказанное неравенство с аналогичными неравенствами и , получаем требуемое.

Нужное неравенство выведено из неравенства , которое не доказано или неверно доказано (например, доказано только при ).

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2022, региональный этап, 10 класс, задача 4

Пусть P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ldots+a₁x+a₀, где n — натуральное число. Известно, что числа a₀,a₁,ldots,a_n — целые, при этом a_nne0, a_n-k=a_k при всех k=0,1,ldots,n, и a_n

Средняя

Алгебра

ВСОШ 2024, региональный этап, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Пусть x₁22024 — возрастающая последовательность натуральных чисел. При i=1,2,ldots,2024 обозначим p_i=(x₁-dfrac1{x₁})(x₂-dfrac1{x₂})ldots(x_i-dfrac1{x_i}). Какое наибольшее количество натураль

Средняя

Алгебра

ВСОШ 2024, региональный этап, 9 класс, задача 6

(7 баллов) На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске. (И. Богданов)

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 11 класс, задача 9

(7 баллов) Даны ненулевые числа a, b, c. Докажите, что выполняется неравенство |frac ba-frac bc|+|frac ca-frac cb|+|bc+1|>1. (А. Кузнецов)

Средняя

Алгебра