ВсОШ 2022, 10 класс, задача 4
Пусть , где — натуральное число. Известно, что числа — целые, при этом , при всех , и . Докажите, что число делится на квадрат некоторого натурального числа, большего .
(Е. Холмогоров)
Ответ
Решение. Достаточно доказать утверждение: многочлен делится на . Действительно, после деления (например, столбиком), в частном получится многочлен с целыми коэффициентами, и тогда равенство многочленов влечёт равенство , из которого следует утверждение задачи, поскольку — целое число.
Для доказательства утверждения сделаем замену , положим и докажем, что делится на , т. е. что последние два коэффициента многочлена равны .
Свободный член многочлена равен .
Поскольку в многочлене коэффициент при равен , коэффициент при многочлена равен . Из условий следует, что удвоенный коэффициент при равен .
Тем самым, задача решена.
Замечание. Утверждение о делимости на можно доказать несколькими другими способами. Например:
- Можно доказать, что при делении на мы получаем многочлен такой, что при всех . Отсюда последует , и тогда, в силу теоремы Безу, делится на .
- Можно заметить, что и .
Доказано, что многочлен делится на (или, эквивалентно, что ) и/или что делится на .
При этом утверждается (но не доказано), что многочлен делится на (или, эквивалентно, что ) и/или что делится на (или , или ).
Факт «если многочлен делится на многочлен , причём у и коэффициенты целые, а у старший коэффициент равен , то в частном получается многочлен с целыми коэффициентами» считается известным, и за использование этого факта без доказательства баллы не снимаются.