Региональный (9–11 классы)

11 класс

Первый тур

ВсОШ 2022, 9, 10 и 11 классы, задача 1

Петя написал на доске десять натуральных чисел, среди которых нет двух равных. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть мен

Простая

Теория чисел

ВсОШ 2022, 10 и 11 классы, задача 2

Дан квадратный трёхчлен P(x). Докажите, что существуют попарно различные числа a, b и c такие, что выполняются равенства P(b+c)=P(a),qquad P(c+a)=P(b),qquad P(a+b)=P(c). (Н. Агаханов)

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 3

В треугольной пирамиде ABCD на её гранях BCD и ACD нашлись соответственно точки A' и B' такие, что angle AB'C=angle AB'D=angle BA'C=angle BA'D=120^circ. Известно, что прямые AA' и BB' пересекаются. Докажите, что точки A' и B' равноудалены от прямой CD. (А. Заславский)

Средняя

Стереометрия

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 4

В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B, то и B дружит с A). Оказалось, что при любом выборе 101 человека из этой компании количество пар дружащих людей среди них нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании. (Е. Бакаев, И. Богданов)

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 5

Пусть S — 100-элементное множество, состоящее из натуральных чисел, не превосходящих 10,000. Отметим в пространстве все точки, каждая из координат которых принадлежит множеству S. К каждой из 1,000,000 отмеченных точек (x,y,z) прикрепим шарик с написанным на нём числом (x²+y²+z

Сложная

Комбинаторика

Второй тур

PDF

Задания, решения и критерии

ВсОШ 2022, 9 и 11 классы, задача 6

Последовательность чисел a₁,a₂,ldots,a₂₀₂₂ такова, что a_n-a_kge n³-k³ для любых n и k таких, что 1le nle 2022 и 1le kle 2022. При этом a₁₀₁₁=0. Какие значения может принимать a₂₀₂₂? (Н. Агаханов)

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 7

Произведение цифр натурального числа n равно x, а произведение цифр числа n+1 равно y. Может ли так случиться, что произведение цифр некоторого натурального числа m равно y-1, а произведение цифр числа m+1 равно x-1? (А. Кузнецов)

Средняя

Теория чисел

ВсОШ 2022, 10 класс — задача 9; 11 класс — задача 8

В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера 1,2,ldots,100, именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на k. При каком наименьше

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 9

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность ω. Диагонали AC и BD пересекаются в точке P. Точка M — середина отрезка AB. Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает окружность ω в точках K и L. Точка N — середина дуги CD описанной окружности треугольника PCD, не содержащей точку P.

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2022, 11 класс, задача 10

Даны неотрицательные числа a,b,c,d такие, что a+b+c+d=8. Докажите, что (a³/a²+b+c) +(b³/b²+c+d) +(c³/c²+d+a) +(d³/d²+a+b) ge4. (А. Кузнецов)

Сложная

Алгебра

10 класс

Первый тур

PDF

Задания, решения и критерии

ВсОШ 2022, 9, 10 и 11 классы, задача 1

Простая

Теория чисел

ВсОШ 2022, 10 и 11 классы, задача 2

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 3

У Васи есть n конфет нескольких сортов, где nge145. Известно, что если из данных n конфет выбрать любую группу, содержащую не менее 145 конфет (в частности, можно выбрать группу из всех данных n конфет), то существует такой сорт конфет, что выбранная группа содержит в точности 10 конфет этого сорта.

Средняя

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 4

Пусть P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ldots+a₁x+a₀, где n — натуральное число. Известно, что числа a₀,a₁,ldots,a_n — целые, при этом a_nne0, a_n-k=a_k при всех k=0,1,ldots,n, и a_n<

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 5

В окружность Ω вписан шестиугольник AECDBF. Известно, что точка D делит дугу BC пополам, а треугольники ABC и DEF имеют общую вписанную окружность. Прямая BC пересекает отрезки DF и DE в точках X и Y, а прямая EF пересекает отрезки AB и AC в точках Z и T соответственно. Докажите, что точки X,Y,T,Z л

Сложная

Планиметрия

Второй тур

PDF

Задания, решения и критерии

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6

На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на 2022 равняться некоторому простому числу? (Н. Агаханов)

Простая

Теория чисел

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7

Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором angle A=2angle B. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что AD+AE=BE. (А. Кузнецов)

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс — задача 9; 10 класс — задача 8

На плоскости отмечены N точек. Любые три из них образуют треугольник, величины углов которого в градусах выражаются натуральными числами. При каком наибольшем N это возможно? (Е. Бакаев)

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс — задача 9; 11 класс — задача 8

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 9 и 10 классы, задача 10

Докажите, что существует натуральное число b такое, что при любом натуральном n>b сумма цифр числа n! не меньше 10¹⁰⁰. (Д. Храмцов)

Сложная

Теория чисел

9 класс

Первый тур

PDF

Задания, решения и критерии

ВсОШ 2022, 9, 10 и 11 классы, задача 1

Простая

Теория чисел

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число N. Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел? (И. Ефремов)

Простая

Теория чисел

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 3

Дан квадратный трёхчлен P(x), не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых a и b разность P(a)-P(b) является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел (c,d), что разность P(c)-P(d) также является квадратом натурального чи

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B, то и B дружит с A). Оказалось, что среди каждых 100 человек в компании количество пар дружащих людей нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании. (Е. Бакаев)

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 5

Пусть CE — биссектриса в остроугольном треугольнике ABC. На внешней биссектрисе угла ACB отмечена точка D, а на стороне BC — точка F, причём angle BAD=90^circ=angle DEF. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника CEF, лежит на прямой BD. (И. Фролов)

Сложная

Планиметрия

Второй тур

PDF

Задания, решения и критерии

ВсОШ 2022, 9 и 11 классы, задача 6

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 7

Петя разбил клетчатый квадрат 100 × 100 некоторым образом на домино — клетчатые прямоугольники 1 × 2, и в каждом домино соединил центры двух его клеток синим отрезком. Вася хочет разбить этот же квадрат на домино вторым способом, и в каждом своём домино соединить две клетки красным отрезком. Вася хо

Сложная

Комбинаторика

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8

В трапеции ABCD диагональ BD равна основанию AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Точка F на отрезке AD выбрана так, что EFparallel CD. Докажите, что BE=DF. (А. Кузнецов)

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс — задача 9; 10 класс — задача 8

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 и 10 классы, задача 10

Сложная

Теория чисел