ВсОШ 2022, 11 класс, задача 7

Ответ. Не может.

Решение. Из условия следует, что , поскольку произведение цифр натурального числа не может быть отрицательным. Следовательно, числа и не содержат нулей в десятичной записи. Тогда эти числа отличаются лишь последней цифрой, причём у числа она больше на один. Таким образом, . Если , то, рассуждая аналогично, мы получим, что , это противоречит доказанному выше. Следовательно, . Тогда , и в десятичной записи числа все цифры равны . Отсюда следует, что в числе последняя цифра — двойка, а остальные цифры — единицы, поэтому . Значит, , и число состоит лишь из единиц. Но тогда число не содержит нулей в десятичной записи. Однако, произведение его цифр равно нулю, противоречие.