ВсОШ 2023, 10 класс, задача 4
( баллов) Даны натуральные , , такие, что , , а число делится на . Докажите, что делится на .
(М. Антипов)
Ответ
Решение. Из условия следует, что делится на . Заметим, что и взаимно просты, откуда получаем, что делится на .
Далее замечаем, что . Действительно, . Значит, делимость на возможна только в случае равенства .
Имеем . Видим, что делится на , но так как и взаимно просты, отсюда следует, что делится на , что и требовалось доказать.
Замечание. Приводить примеры чисел, удовлетворяющих условию, в решении не требуется. Но из решения несложно получить даже полное описание всех троек, удовлетворяющих условию: , где , — произвольные натуральные числа.
Доказано, что делится на .
В случае, если доказано, что делится на , либо получены другие делимости, баллы не начисляются.
Доказано, что делится на , и далее доказано, что частное может равняться только , т.е. выведено равенство .
Доказано, что делится на , далее не доказано, что частное может равняться только , но верно рассмотрен случай равенства .