ВсОШ 2023, 9, 10, 11 классы, задача 6
Источник:
( баллов) Для натурального числа обозначим через наименьшее общее кратное всех чисел . Существует ли такое натуральное число , что ?
(А. Кузнецов)
Ответ
Ответ. Нет.
Решение. Предположим противное. Пусть делится на , но не делится на ; тогда . Это значит, что среди чисел есть число , делящееся на . Но тогда число уже не превосходит и делится на ; значит, и делится на . Поэтому не может делиться на степень двойки, большую первой.
Замечание. Можно показать, что только тогда, когда число является степенью некоторого простого числа ; в этом случае отношение будет равно .
11
Заявлено, что не может делиться на квадрат простого числа, но это утверждение не доказано или доказано неверно.
Максимум: 7