ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2
На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число . Петя к каждому из чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди полученных чисел?
(И. Ефремов)
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть — сумма цифр числа . Тогда суммы цифр полученных чисел будут равны . Три из этих сумм будут делиться на . По признаку делимости на соответствующие три числа на доске также будут делиться на . При этом они будут больше , а значит, будут составными. Поэтому больше простых чисел на доске оказаться не может.
Шесть простых чисел может оказаться даже при — например, если Петя получит, среди прочих, числа и .
Замечание. Петя может получить шесть простых чисел, даже если он будет приписывать цифры лишь с одной стороны — например, из числа он может получить числа и .
Только приведён пример, в котором на доске оказалось простых чисел.
Доказано только, что больше шести простых чисел получиться не могло.