ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6
На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на равняться некоторому простому числу?
(Н. Агаханов)
Ответ
Ответ. Не может.
Решение. Пусть — остаток меньшего из данных нечётных чисел при делении на , так что — некоторое нечётное число из множества . Если , то два других остатка — и , так что сумма остатков равна — это число составное, так как делится на и больше . Отдельно рассмотрим случаи и . В первом случае остатки данных чисел равны и . Во втором случае остатки данных чисел равны и . В обоих случаях сумма остатков делится на и больше .
Замечание 1. Во всех трёх случаях сумма трёх остатков равна , где .
Замечание 2. Если в условии задачи заменить на другое число (не кратное ), утверждение задачи может стать неверным. Например, сумма остатков чисел при делении на равна — простое число.
Если в решении упущен случай «перехода через » (т. е. хотя бы один из случаев троек остатков и ).
Если в верном решении получено, что сумма остатков делится на , но явно не оговорено, что она больше (скажем, получена формула в случае ), баллы не снижаются.