ВсОШ 2022, 9, 10 и 11 классы, задача 1
Петя написал на доске десять натуральных чисел, среди которых нет двух равных. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на . Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на . Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше ?
(П. Кожевников)
Ответ
Ответ. Может.
Решение. Пример: . В этом наборе три числа () делятся на , четыре числа () делятся на , а общая сумма равна .
Замечание. Можно доказать (но, конечно, в задаче этого не требуется), что на самом деле в любом примере, удовлетворяющем условию задачи, должны обязательно присутствовать числа и , а вместо числа можно взять или .
Для получения полного балла достаточно наличия верного примера без указания, какие числа делятся на и ; явный подсчёт суммы тоже не требуется.
Любой неработающий пример.