ВСОШ 2024, 10 класс, задача 9

Ответ. .

Решение. Видим, что удовлетворяет условию. Далее будет доказано, что других ответов нет.

1. Предположим, что делится на , где , , (в частности, это следует из условия, если дополнительно предполагать, что различны).

Заметим, что один из трех сомножителей , , не может делиться на произведение двух из чисел , так как он меньше этого произведения. Действительно, рассмотрим, например, . Из раскрытия скобок видим, что , и аналогично . Значит, каждый из сомножителей , , должен делиться ровно на одно из чисел . Пусть, для определённости, — наименьшее из чисел . Тогда и , поэтому может делиться на только в случае и , т.е в случае . Далее, и , поэтому может делиться на только в случае и , т.е в случае . Аналогично, может делиться на только при .

1. Пусть какие-то два из трёх чисел совпадают, скажем, . Тогда . Значит, либо , либо . Первый случай возможен лишь при , иначе — составное число, что даёт противоречие. Значит, в любом случае среди присутствует единица, скажем, .

Тогда наши данные простые числа — это , и , и они должны быть делителями . Если хотя бы одно из чисел больше , то и на обязан делиться хотя бы один из сомножителей и . А поскольку разность делится на , получаем, что оба числа , делятся на . Тогда если отлично от , то делится на , что разобрано в случае 1).

Остаётся вариант . Рассуждаем как в предыдущем случае и получаем, что хотя бы два из трёх чисел обязаны равняться . Пусть, например, , , . Случай уже был ранее. Если , то — нечётное простое, значит должно делиться на . Отсюда должно делиться на . Но это невозможно, так как и — простое.