ВСОШ 2026, 9 класс, задача 7
( баллов) Дано нечётное простое число . Найдите все пары натуральных чисел и таких, что .
Ответ
Ответ. Пары и , .
Решение. Умножив равенство на , получаем , откуда . Значит, — натуральный делитель числа . У всего натуральных делителя: , и . Если , то , значит, , то есть этот случай невозможен. Если , то , откуда . Если , то , откуда . Обе найденные пары и , как нетрудно проверить, подходят.
Замечание. Обратим внимание, что все преобразования в решении равносильны (если числа , и натуральны), поэтому на самом деле проверка того, что полученные ответы подходят, не требуется.
(О+) Только полный ответ.
(О−) Неполный ответ, в котором хотя бы один случай упущен.
(О) В работе ответ неверен.
(A) Получено равенство (именно такое, с разложением на множители!) или хотя бы одна из делимостей и .
(B−) В целом верном решении при переборе делителей числа ровно один из них (, или ) упущен или разобран неверно.
(C) В решении с существенно неравносильными переходами отсутствует проверка того, что ответы подходят.