ВСОШ 2025, 9 класс, задача 9
( баллов) На столе стоят сосудов, выстроенных в ряда по сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно л. При каких можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на л?
(И. Богданов)
Ответ
Ответ. При .
Решение. Предположим, что количество воды в любых двух сосудах отличается больше, чем на л. Пусть — количества воды в сосудах; назовём индексом сосуда его номер в этом ряду. Заметим, что , и по нашему предположению ; отсюда получается, что при .
Сумма всех индексов равна , поэтому найдётся ряд, сумма индексов в котором не меньше, чем . Из неравенств выше получаем, что суммарное количество воды в этом ряду больше, чем , откуда . Итак, при всех значениях утверждать требуемое можно.
С другой стороны, если распределить воду по рядам как
то количества воды в любых двух сосудах будут отличаться минимум на л. Поэтому при всех утверждать требуемое нельзя.
Замечание. Есть и другие примеры, в которых все количества отличаются не менее чем на л. Однако во всех таких примерах все количества воды в сосудах имеют вид л, где — целое число.
Только ответ.
Только пример, показывающий, что все , меньшие , не подходят.
Только оценка .