ВсОШ 2022, 9 класс — задача 9; 10 класс — задача 8

Ответ. .

Первое решение. Пример. Покажем сначала, что при требуемое возможно. Отметим на окружности точек, разбивающих её на равных дуг величиной по каждая. Величина любой дуги с концами в двух из отмеченных точек выражается чётным числом градусов, поэтому величина любого вписанного в окружность угла, образованного тремя отмеченными точками, выражается натуральным числом градусов. Следовательно, отмеченных точек удовлетворяют условию задачи.

Оценка. Осталось доказать, что . Любые три отмеченных точки образуют треугольник, поэтому не могут лежать на одной прямой. Считая отмеченные точки расположенными на координатной плоскости, обозначим через любую из них с максимальной ординатой. Среди оставшихся выберем точки и такие, что угол максимален.

Из условия задачи следует, что в треугольнике величины углов и не меньше , поэтому величина угла не больше . Ввиду выбора точек и остальные отмеченные точки лежат строго внутри угла , и каждый луч с началом в точке содержит не больше одной из них. Проведя через каждую отмеченную точку внутри угла луч с началом в точке , получим различных луча, делящих на угла. Если , то хотя бы один из этих углов имеет величину, меньшую , и является углом некоторого треугольника с вершинами в трёх отмеченных точках, что противоречит условию задачи. Следовательно, , то есть , что и требовалось доказать.

Замечание 1. Описать выбор используемой в решении точки можно также следующими способами.

1. Рассмотрим вершину выпуклой оболочки системы отмеченных точек. В качестве точек и тогда можно взять соседние с вершины выпуклой оболочки.
2. Рассмотрим опорную прямую множества отмеченных точек, т. е. такую прямую, что все отмеченные точки лежат по одну сторону от этой прямой, а на самой прямой лежит хотя бы одна отмеченная точка. Эту точку и можно взять за точку .

Замечание 2. В примере отмеченные точки являются вершинами правильного -угольника. Все примеры для устроены именно таким образом (это несложно вывести, используя рассуждения из доказательства оценки, но конечно, это не требуется в решении).

Второе решение. Приведём другое доказательство оценки. Рассмотрим пару отмеченных точек , на наибольшем расстоянии друг от друга. Тогда для любой другой отмеченной точки сторона — наибольшая в треугольнике , поэтому, в частности, угол острый.

Проведя из точки лучи во все отмеченные точки, получаем, что все эти лучи различны (ибо три отмеченные точки не могут лежать на одной прямой), и каждый составляет с лучом острый угол, выражаемый целым числом градусов. Такой угол (если луч не совпадает с ) может принимать значения от до , поэтому количество таких лучей не превосходит . Отсюда .

Замечание 3. Доказать более слабые оценки и даже можно, рассматривая любую отмеченную точку (без какого-то специального выбора) и выходящие из неё лучи в другие отмеченные точки. Действительно, так как угол между любыми двумя такими лучами измеряется целым числом градусов, возможных направлений данных лучей — , отсюда . Кроме того, из любой пары противоположных направлений может присутствовать не более одного, поэтому лучей не более , и .

Замечание 4. Можно доказать оценку несколько по-другому. Рассмотрим угол выпуклой оболочки множества отмеченных точек. Он выражен натуральным числом градусов и меньше , значит, он не превосходит . Далее повторяя рассуждения из решения, получаем, что , откуда .

Если хотя бы один угол выпуклой оболочки не больше , то доказываем оценку так же, как в первом решении. Остаётся случай, когда все углы выпуклой оболочки равны , или все внешние углы выпуклой оболочки равны . Но сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна , поэтому в выпуклой оболочке не менее вершин, тогда . Но ранее показано, что — противоречие.