ВСОШ 2024, 9 класс, задача 5
( баллов) Дан равнобедренный треугольник (). На продолжениях боковых сторон и за точку отмечены точки и соответственно, а на основании отмечена точка , причём и . Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Первое решение. Обозначим через середину дуги окружности, описанной около треугольника . Прямая является внешней биссектрисой в треугольнике , а следовательно, и в треугольнике . Но треугольник равнобедренный, поэтому .
Заметим далее, что (см. рис. ).
Таким образом, в равнобедренных треугольниках и равны углы при вершинах, а также основания, поэтому равны и сами треугольники. Отсюда, во-первых, . Во-вторых, расстояние от точки до прямой равно расстоянию от точки до , а последнее равно расстоянию от до (поскольку ). Значит, точка лежит на биссектрисе угла между прямыми и .
Из условия вытекает, что эта биссектриса является серединным перпендикуляром к отрезку . Таким образом, . Иными словами, точка — центр окружности, описанной около треугольника . Следовательно, , что и требовалось.
Второе решение. Для начала сделаем замечание. Пусть на прямой выбраны точки и такие, что и ; тогда и . Действительно, если это не так и, скажем, точки и лежат на луче (см. рис. ), то , что невозможно.
Построим теперь такие точки. Пусть прямые и пересекаются в точке ; для определённости, пусть лежит на луче . Выберем на прямой точку такую, что . Тогда — трапеция с равными углами при основании; следовательно, и . Пусть диагонали и пересекаются в точке . Пусть, наконец, описанные окружности треугольников и вторично пересекают прямую в точках и соответственно (см. рис. ).
Поскольку — биссектриса угла , получаем и . Кроме того, . Значит, ; поэтому треугольник получается из поворотом вокруг точки . Отсюда нетрудно получить, что . Далее, из вписанности и симметрии имеем
По замечанию выше получаем, что и .
Осталось завершить решение. Имеем . Отсюда следует, что точки , , и лежат на одной окружности. Значит, , что и требовалось доказать.
Замечание. Если , то точка совпадает с , что невозможно. Поэтому можно считать, что прямые и пересекаются. Кроме того, можно показать, что в условиях задачи всегда лежит именно на луче .
Третье решение. Как и в предыдущем решении, достроим равнобокую трапецию с точкой пересечения диагоналей . Как мы видели в том же решении, достаточно доказать, что точки , , и лежат на одной окружности.
Выберем точку так, что четырёхугольник — параллелограмм (см. рис. ).
Тогда — также параллелограмм, ибо . Значит, и ; первое равенство означает, что лежит на серединном перпендикуляре к , а второе — что это внешняя биссектриса угла . Но, как известно, эта внешняя биссектриса вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к ; значит, и есть эта точка, и точки , , , лежат на одной окружности.
Наконец, из этой окружности и двух параллелограммов получаем , то есть точки , , и лежат на одной окружности; это мы и хотели доказать.
Общие замечания. В этой задаче рекомендуется не снижать баллы за использование расположения точек, не влияющее существенно на ход решения — например, на расположение точки пересечения прямых и , отсутствие разбора случая и т. п.
Далее приведены критерии оценивания для работ, следующих по одному из предложенных решений. Остальные решения стоит оценивать по аналогии. Баллы по разным решениям не складываются друг с другом. Баллы в рамках одного решения могут складываться только если это указано явно.
Первое решение. (1.1) Только построена точка .
(1.2) Показано, что треугольники и равны.
(1.3) Показано, что равноудалена от прямых и .
(1.4) Доказано, что .
Второе решение. (2.1) Только построена точка .
(2.2) Задача сведена к доказательству того, что точки , , , лежат на одной окружности.
(2.3) Высказано предположение, что треугольники и равны (может суммироваться с (2.2)).
(2.4) Из этого предположения выведено утверждение задачи (не суммируется с (2.2)).
(2.5) Только доказано, что треугольники и равны.
Третье решение. (3.1) Только построена точка .
(3.2) Задача сведена к доказательству того, что точки , , , лежат на одной окружности.
(3.3) Построена точка из решения, и задача сведена к доказательству того, что точки , , , лежат на одной окружности.