ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 10

( баллов) Пусть — середина стороны треугольника . На продолжении стороны за точку нашлась такая точка , что . Точка — центр окружности, описанной около треугольника . Найдите значение угла .

(А. Кузнецов)

Ответ

Ответ. .

Решение. Отметим точку так, что треугольник — равносторонний, а точки и лежат по разные стороны от прямой (см. рис. ).

Рис. 1

Тогда , то есть четырёхугольник — вписанный; значит, поскольку , то и . Но, так как , четырёхугольник также вписан в окружность (с диаметром ), и точка из условия — центр этой окружности. В частности, лежит на серединном перпендикуляре к , совпадающем с биссектрисой угла . Отсюда и вытекает, что .

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2022, региональный этап, 11 класс, задача 9

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность ω. Диагонали AC и BD пересекаются в точке P. Точка M — середина отрезка AB. Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает окружность ω в точках K и L. Точка N — середина дуги CD описанной окружности треугольника PCD, не содержащей точку P.

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2023, региональный этап, 10 класс, задача 5

(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BD и отмечена точка пересечения высот H. Серединный перпендикуляр к отрезку HD пересекает окружность, описанную около треугольника BCD, в точках P и Q. Докажите, что angle APB+angle AQB=180^circ. (М. Туревский, М. Дидин)

Сложная

Планиметрия

ВСОШ 2025, региональный этап, 9 класс, задача 2

(7 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведена биссектриса CD. На основании AC отмечена точка F так, что BD=CF. Точка E выбрана таким образом, что четырехугольник CDEF — параллелограмм. Докажите, что BE=BF. (А. Кузнецов)

Сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, региональный этап, 9 класс, задача 5

(7 баллов) Выпуклые четырёхугольники ABCD и KLMN расположены так, что прямые KL, LM, MN и NK являются биссектрисами внешних углов A, B, C и D четырёхугольника ABCD соответственно. При этом ABCD не является параллелограммом. Диагонали четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P. Докажите, что если a

Сложная

Планиметрия