ВСОШ 2025, 9 класс, задача 2
( баллов) В равнобедренном треугольнике () проведена биссектриса . На основании отмечена точка так, что . Точка выбрана таким образом, что четырехугольник — параллелограмм. Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Первое решение. Продлим отрезок до пересечения со стороной в точке (см. рис. ). Поскольку , треугольник равнобедренный. Кроме того, , поэтому треугольник также равнобедренный, и . Из параллелограмма получаем , так что . Поскольку , получаем, что треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, откуда и следует, что .
Замечание. У этого решения есть много вариаций; в частности, вместо равенства треугольников и можно получить равенство треугольников и — например, так (см. рис. ).
Заметим, что треугольник равнобедренный, а трапеция равнобокая (поскольку углы при основании равны), то есть и . Теперь по свойству биссектрисы имеем
Значит, треугольники и подобны (угол в них общий), поэтому треугольник также равнобедренный, откуда и .
Теперь в треугольниках и имеем и , то есть эти (равнобедренные) треугольники равны. Значит, .
Второе решение. Пусть описанная окружность треугольника пересекает вторично прямую в точке (см. рис. ). Тогда ; также, поскольку — (внутренняя или внешняя) биссектриса угла , имеем . Поэтому треугольники и равны. Отсюда следует, что , а тогда и треугольники и также равны. Значит, .
Кроме того, из полученного равенства углов и следует, что . Тогда треугольники и также равны, и , что и требовалось.
Замечание. Аналогичное решение можно получить без введения точки , но с использованием точки из первого решения — например, так (см. рис. ).
Как показано в начале первого решения, в равнобокой трапеции имеем ; кроме того, . Поэтому треугольники и равны, откуда несложно получить, что — равнобокая трапеция, то есть лежит на окружности , описанной около треугольника .
Далее, диагонали трапеции равны, так что . Значит, равны диагонали трапеции , то есть она тоже равнобокая и, следовательно, вписана. Поэтому и лежит на . Наконец, в окружности имеем , так что хорды и стягивают равные дуги этой окружности и потому равны.
Не доведённое до конца счётное решение.
Решение не проходит для расположения точек, отличного от рассмотренного, но хотя бы один существенный случай расположения точек разобран верно.
Введение в рассмотрение точки или точки (или обеих) без дальнейших содержательных продвижений.
Доказательство подобия треугольников и (или равенства ) без дальнейших существенных продвижений.
Доказано, что один из четырёхугольников или вписан.