ВСОШ 2026, 9 класс, задача 5
( баллов) Выпуклые четырёхугольники и расположены так, что прямые , , и являются биссектрисами внешних углов , , и четырёхугольника соответственно. При этом не является параллелограммом. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке . Докажите, что если , то .
Ответ
Решение 1. Опустим из точки перпендикуляры , , и на прямые , , и соответственно. Заметим, что точка равноудалена от прямых , и . Аналогично, точка также равноудалена от и , и обе точки и лежат в том угле между этими прямыми, в котором находится четырёхугольник . Значит, все точки отрезка также равноудалены от этих прямых — в частности, точка , то есть . Аналогично, , и лежит в том же угле между прямыми и — то есть находится внутри четырёхугольника .
Значит, точки и лежат на лучах и соответственно (а точки и — на лучах и соответственно), так что , поэтому треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Наконец, четырёхугольники и вписаны в окружности с диаметрами и соответственно (из прямых углов при вершинах , , и ). Из равенства треугольников и следует, что эти окружности равны, а значит, равны их диаметры, что и требовалось доказать.
Решение 2. Если углы и четырёхугольника также равны, то он — параллелограмм, что по условию не так. Пусть без ограничения общности . Тогда ; это означает, что лучи и пересекаются в некоторой точке , а лучи и — в некоторой точке . Теперь треугольники и подобны по двум углам, следовательно, , поэтому четырёхугольник вписанный в некоторую окружность .
Точка — точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника , а точка — это точка пересечения биссектрис внешних углов и треугольника ; значит, они обе лежат на биссектрисе угла . Аналогично, — это биссектриса угла , а тогда — это точка пересечения этих биссектрис. Но обе этих биссектрисы проходят через середину дуги окружности , не содержащей точек и ; значит, и есть эта середина дуги. Тогда хорды и , стягивающие равные дуги, равны.
Замечание. Утверждение задачи остаётся верным, если — параллелограмм (в этом случае — центр симметрии этого параллелограмма).
Замечание. Заметим, что четырёхугольник является трапецией (). Поэтому факт из задачи можно переформулировать следующим образом.
Пусть по бильярдному столу в форме трапеции катается шар, отражаясь последовательно от четырёх сторон в одних и тех же четырёх точках. Тогда точки отражения от боковых сторон трапеции равноудалены от точки пересечения её диагоналей.
(1) Замечено только, что точка лежит на биссектрисе угла между прямыми и (или аналогичные утверждения).
(2) Показано, что точка лежит на биссектрисе угла между и .
(3) Замечено, что точки , , и лежат на одной окружности.
Баллы, упомянутые выше, не складываются друг с другом.
(⋆) В работе может отсутствовать обоснование того, что конфигурация выглядит именно так, как в работе, если при этом используются верные (и нетрудно обосновываемые) сведения о расположении точек.
К таким сведениям относятся, в частности, следующие:
- точки , , , лежат на сторонах ;
- точка лежит внутри четырёхугольника ;
- точки и лежат на одной и той же биссектрисе угла между прямыми и (если уже обосновано, что каждая из них лежит на биссектрисе);
- точки и (из первого решения) лежат на лучах и соответственно;
- точки и (из второго решения) лежат по одну сторону от прямой ;
- у четырёхугольника нет параллельных сторон.