ВСОШ 2026, 9 класс, задача 8
( баллов) Остроугольный треугольник вписан в окружность с центром в точке . Прямая пересекает отрезок в точке . Точка выбрана на отрезке так, что — середина отрезка . Основание перпендикуляра, опущенного из на , лежит в треугольнике . Прямая пересекает окружность, описанную около треугольника , в точке . Докажите, что прямые и параллельны.
Ответ
Решение. Так как треугольник прямоугольник, середина гипотенузы равноудалена от вершин и . Тогда из равнобедренных треугольников и имеем , поэтому четырёхугольник — вписанный. Значит, . С другой стороны, поскольку четырёхугольник вписан, имеем . Итак, , откуда и следует, что прямые (то есть ) и параллельны.
(1) Доказано, что точки , , и лежат на одной окружности.
(2) Утверждение задачи сведено к факту, что точки , , и лежат на одной окружности.