ВСОШ 2024, 10 класс, задача 5
( баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны и пересекаются в точке . Центры вписанных окружностей треугольников , , , являются вершинами выпуклого четырёхугольника, периметр которого равен . Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников , , , не превосходит .
(С. Берлов)
Ответ
Решение. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен (что также равно расстоянию от вершины прямого угла до точки касания катета со вписанной окружностью). Складывая это равенство с аналогичными для треугольников , , , получаем, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников , , , равна
Пусть вписанные окружности треугольников и имеют центры , и касаются стороны в точках и соответственно. Поскольку — проекция на прямую , имеем . Сложим это неравенство с аналогичными для расстояний между другими парами центров вписанных окружностей треугольников , , , . Получим оценку на периметр : . Сравнивая с выражением , получаем требуемое неравенство .
Замечание. Неравенство может обращаться в равенство (например, в случае прямоугольника ). Из решения видно, что это происходит в том случае, когда и выполнены аналогичные параллельности линии центров вписанных окружностей и сторон четырёхугольника .
Получено выражение для суммы радиусов через диагонали и стороны исходного четырёхугольника.
Идея оценить расстояние проекцией на сторону .
Баллы за указанные продвижения суммируются.
За отсутствие обоснования того, что в выпуклом четырёхугольнике, образованном центрами вписанных окружностей треугольников , , , , вершины идут в перечисленном порядке, баллы не снимаются.