ВсОШ 2022, региональный этап, 11 класс, задача 9
Трапеция с основаниями и вписана в окружность . Диагонали и пересекаются в точке . Точка — середина отрезка . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает окружность в точках и . Точка — середина дуги описанной окружности треугольника , не содержащей точку . Докажите, что точки и лежат на одной окружности.
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Обозначим через центр окружности, описанной около трапеции . Тогда . Здесь мы воспользовались тем, что центральный угол вдвое больше вписанного, и что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.
Следовательно, точка лежит на окружности , описанной около треугольника , и поскольку , то — середина дуги . Тогда отрезок — диаметр окружности , а прямая — серединный перпендикуляр к отрезку . В частности, середина отрезка , обозначим её через , лежит на отрезке . Из сказанного выше, . Значит, окружность, описанная около треугольника , касается прямой , поэтому . Отметим точку , симметричную точке относительно точки . Тогда , поэтому точки лежат на одной окружности.
Теперь заметим, что точки и симметричны относительно прямой . Значит, и . Таким образом, точки и симметричны относительно серединного перпендикуляра к . Следовательно, точки и лежат на одной окружности. Из сказанного выше, на этой окружности лежит также и точка , что и требовалось.