ВсОШ 2022, 10 класс, задача 5
В окружность вписан шестиугольник . Известно, что точка делит дугу пополам, а треугольники и имеют общую вписанную окружность. Прямая пересекает отрезки и в точках и , а прямая пересекает отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что точки лежат на одной окружности.
(Д. Бродский)
Ответ
Решение. Отметим точку — центр общей вписанной окружности треугольников и . Поскольку — середина дуги , точки лежат на одной прямой. Окружность вписана в угол , поэтому — биссектриса угла , а точка — середина дуги .
Заметим, что четырёхугольник вписанный. Это следует из равенства углов . Аналогично, четырёхугольник — вписанный.
Если , то конструкция симметрична относительно прямой , и утверждение задачи очевидно. Иначе отметим точку пересечения прямых и . Приравнивая произведения отрезков секущих для окружностей , и (т. е. степени точки относительно этих трёх окружностей), имеем: . Доказанное равенство означает, что лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.
Если в верном решении не рассмотрен случай , то баллы не снижаются. Если рассмотрен только этот случай, баллы не начисляются.
Оцениваются (и суммируются) следующие продвижения.
Доказано, что — середина дуги .
Доказано, что и/или — вписанный.
Введена в рассмотрение точка и записано равенство произведений длин секущих хотя бы для одной из окружностей , и .