ВсОШ 2023, 11 класс, задача 8
( баллов) Точка — центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника . На биссектрисе угла внутри треугольника отмечена точка , а на отрезке — точка так, что и . Точки и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно. Докажите, что точки , , и лежат на одной прямой или на одной окружности.
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Обозначим вторую точку пересечения биссектрисы угла с окружностью, описанной около треугольника , через (см. рис. ). Тогда точка — середина дуги , поэтому — серединный перпендикуляр к хорде . Поскольку вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу, то . С другой стороны, так как , то , а тогда как внешний к треугольнику . Таким образом, , поэтому точка лежит на окружности, описанной около треугольника . Рассуждая аналогично, мы получаем, что , и точка лежит и на окружности, описанной около треугольника . Значит, точки и — центры описанных окружностей треугольников и , а эти треугольники симметричны относительно . Получается, что точки и также симметричны относительно . Следовательно, либо точки и лежат на прямой , либо , , , — вершины равнобокой трапеции, а потому лежат на одной окружности.
Построена середина меньшей дуги окружности (в решении названа ).
Доказано, что лежит на одной из окружностей, описанных около треугольников и .
Доказано, что точка лежит на обеих окружностях.
Доказано, что радиусы окружностей равны.
Доказано, что точки и симметричны относительно серединного перпендикуляра к , далее упущен случай, когда они лежат на прямой — баллы не снимаются.
Баллы за указанные продвижения не суммируются.