ВСОШ 2024, 10 класс, задача 8
( баллов) Дан четырёхугольник , в котором . Известно, что его вершины и вместе с серединами сторон и лежат на одной окружности. Докажите, что вершины и вместе с серединами сторон и тоже лежат на одной окружности.
(А. Кузнецов)
Ответ
Первое решение. Обозначим через , , , середины сторон , , , соответственно (см. рис. ). По условию, четырёхугольник — вписанный. Значит, . Поскольку — средняя линия треугольника , то , поэтому . Пусть отрезки и пересекаются в точке .
Опустим из точки перпендикуляр на прямую . Тогда , значит, — середина отрезка по теореме Фалеса. Кроме того, четырёхугольник вписан в окружность, построенную на отрезке как на диаметре, обозначим центр этой окружности через . Вновь по теореме Фалеса проекции точек и на прямую находятся на равном расстоянии от проекции точки , то есть от середины отрезка . Это означает, что . Итого, . Значит, — средняя линия в треугольнике , поэтому и . Поскольку ещё и — средняя линия треугольника , то и . Следовательно, точки , , и лежат на окружности с диаметром , что и требовалось доказать.
Второе решение. Воспользуемся обозначениями из первого решения. Поскольку — средняя линия треугольника , то . Отсюда и из вписанности четырёхугольника мы получаем равенства углов: (см. рис. ). Таким образом, вписанность четырёхугольника равносильна равенству углов , что эквивалентно равенству . Последнее равенство равносильно подобию треугольников и , что эквивалентно равенству отношений их катетов . Домножая на знаменатели, получаем соотношение . Рассуждая аналогично, получаем, что это же равенство равносильно вписанности четырёхугольника , что и требовалось.
Получено и/или понято, что (или, эквивалентно, ) достаточно для решения.
Получено подобие и/или понято, что достаточно для решения.
Баллы за указанные продвижения не суммируются. За получение других начальных продвижений — различных соотношений, полученных из счёта углов, параллельности и т.д., — баллы не добавляются.