ВСОШ 2024, региональный этап, 11 класс, задача 4
( баллов) На отрезке как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка на этом отрезке. Девять лучей из точки делят развёрнутый угол на равных частей и пересекают полуокружность в точках соответственно (в порядке обхода от к ). Докажите, что сумма площадей треугольников и равна площади четырёхугольника .
(М. Евдокимов)
Ответ
Решение. Покажем, что . Требуемое в условии равенство получается вычитанием из обеих частей этого равенства площади серого треугольника с вершиной в точке , а также добавлением площадей двух серых треугольников, примыкающих к хордам и (см. рис. ). Заметим, что , поэтому синусы этих углов равны. Поэтому достаточно доказать, что . Покажем, что оба произведения равны . Для этого достаточно доказать следующее вспомогательное утверждение.
Лемма. Пусть и — две точки на полуокружности с диаметром , точка лежит на отрезке и . Тогда .
Доказательство. Отметим точку , симметричную относительно . Тогда четырёхугольник вписан в окружность с диаметром . Также в силу симметрии и , то есть точки , , лежат на одной прямой. Значит, — точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника , поэтому . Таким образом, лемма доказана, что завершает решение задачи.