ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7
Дан вписанный четырёхугольник , в котором . Биссектриса угла пересекает сторону в точке . Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Обозначим , тогда по условию . На продолжении отрезка за точку отметим точку так, что . Тогда треугольник равнобедренный, и его углы при основании равны. Так как , то .
Поскольку четырёхугольник — вписанный, то . Следовательно, точки и лежат на одной прямой. Тогда , поэтому треугольник равнобедренный. Значит, его биссектриса совпадает с медианой. Итого, , что и требовалось.
Замечание. Существует и такая вариация решения. Обозначим , тогда по условию . Из вписанности четырёхугольника имеем . Тогда , лучи и пересекаются в некоторой точке , и при этом . Поскольку , треугольник равнобедренный. Значит, его биссектриса совпадает с медианой, поэтому .
Для завершения решения остаётся показать, что . Это следует из вписанности четырёхугольника , поскольку . Значит, треугольник равнобедренный с равными углами .
Построена точка из решения (она может быть определена разными способами: как точка с условием на продолжении отрезка , как пересечение и и т. д.).