ВСОШ 2024, 9 класс, задача 8
( баллов) На стороне остроугольного треугольника выбраны точки и так, что . Точки и выбраны соответственно на отрезках и так, что и . Докажите, что точка пересечения медиан треугольника равноудалена от прямых и .
(А. Матвеев)
Ответ
Решение. Пусть — середина (тогда — ещё и середина ); пусть — точка пересечения медиан треугольника .
По свойству медианы имеем . А так как , получаем, что . Тогда и . Но — медиана прямоугольного треугольника , поэтому . Значит, , т. е. — биссектриса угла . Поэтому точка равноудалена от прямых и .
Аналогично показывается, что — биссектриса угла , и потому точка равноудалена от и . Значит, она равноудалена от трёх прямых , и . Этим завершается решение.
Замечание. В ситуации, описанной в условии (когда треугольник остроугольный), получается, что — центр вневписанной окружности треугольника , где — точка пересечения прямых и .
Показано, что .
За получение различных соотношений между отрезками, углами и т. п., без дальнейшего их применения баллы не добавляются.
Из факта о том, что и — биссектрисы углов и , делается вывод, что — центр вневписанной окружности треугольника (без обоснования, почему эта окружность вневписанная, а не вписанная).