ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7

Средняя
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2023, 11 класс, Второй тур

( баллов) Назовём два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника? Стороны вырезаемого прямоугольника не обязательно параллельны сторонам исходного прямоугольника.

(Е. Молчанов)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Не всегда.

Решение. Возьмём прямоугольник размера , половина площади которого равняется . Для того, чтобы условие выполнялось, из данного прямоугольника необходимо вырезать прямоугольник площади или . Таких прямоугольников всего три: , и . Заметим, что длинная сторона каждого из таких прямоугольников не меньше . С другой стороны, диагональ исходного прямоугольника равняется , но , поэтому ни один из таких прямоугольников вырезать из прямоугольника нельзя.

1

Верный ответ без обоснования.

0
2

Верный пример вырезания без полного обоснования.

≤4
3

Пример работает только в случае, когда прямоугольник вырезается по линиям сетки.

≤2
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7

Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором angle A=2angle B. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что AD+AE=BE. (А. Кузнецов)
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8

В трапеции ABCD диагональ BD равна основанию AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Точка F на отрезке AD выбрана так, что EFparallel CD. Докажите, что BE=DF. (А. Кузнецов)
Средняя
Планиметрия

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 2

(7 баллов) На координатной плоскости нарисована парабола y=x2. Для данного числа k>0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что диаго
Средняя
Планиметрия

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 8

(7 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что BP=PQ=QC. Точки X и Y выбраны соответственно на отрезках AC и AB так, что PXperp AC и QYperp AB. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC равноудалена от прямых XQ и YP. (А. Матвеев)
Средняя
Планиметрия