ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8

Средняя

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2022, 9 класс, Второй тур

В трапеции диагональ равна основанию . Диагонали и пересекаются в точке . Точка на отрезке выбрана так, что . Докажите, что .

(А. Кузнецов)

Ответ

Решение. Поскольку , треугольники и подобны, и потому .

Достроим треугольник до параллелограмма (см. рис. ). Тогда треугольники и подобны, поэтому . Наконец, поскольку и , получаем

откуда и следует, что .

Рис. 1

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7

(7 баллов) Назовём два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходног

Средняя

Планиметрия

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 8

(7 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что BP=PQ=QC. Точки X и Y выбраны соответственно на отрезках AC и AB так, что PXperp AC и QYperp AB. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC равноудалена от прямых XQ и YP. (А. Матвеев)

Средняя

Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7

Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором angle A=2angle B. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что AD+AE=BE. (А. Кузнецов)

Средняя

Планиметрия

ВСОШ 2024, 10 класс, задача 2

(7 баллов) На координатной плоскости нарисована парабола y=x². Для данного числа k>0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что продо

Средняя

Планиметрия