ВсОШ 2022, региональный этап, 9 класс, задача 3
Дан квадратный трёхчлен , не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых и разность является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел , что разность также является квадратом натурального числа.
(Н. Агаханов)
Ответ
Решение. Пусть . По условию,
Поскольку — натуральное число, . Будем искать подходящие пары чисел в виде и . Тогда разность будет равна
Таким образом, нам достаточно подобрать такие , для которых дробь будет квадратом натурального числа. При дробь будет равна нечётному числу . Тогда нам подойдут те , при которых будет квадратом нечётного числа.
Замечание. Заметим, что у многочлена из условия некоторые (или даже все!) коэффициенты могут оказаться иррациональными. Например, условие выполнено для многочлена и чисел , , где — произвольное число.
Заметим, что если число иррационально, то выражение может оказаться целым только при или .