ВсОШ 2022, 11 класс, задача 3

Средняя
Стереометрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2022, 11 класс, Первый тур

В треугольной пирамиде на её гранях и нашлись соответственно точки и такие, что . Известно, что прямые и пересекаются. Докажите, что точки и равноудалены от прямой .

(А. Заславский)

Ответ

Решение. Из условия задачи следует, что точки лежат в одной плоскости, поэтому прямые и пересекают ребро в одной точке . Из условия следует, что эти прямые являются биссектрисами углов , соответственно. Отсюда, по свойству биссектрисы, , а поскольку , треугольники и подобны. Поскольку — общая сторона этих треугольников, эти треугольники равны. В этих равных треугольниках равны соответствующие высоты из вершин и . Это и требовалось доказать.

Рис. 4

1

Указано только, что прямые и пересекают ребро в одной точке.

1
2

Указано, что прямые и пересекают ребро в одной точке; и кроме того, доказано соотношение или подобие .

4
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 8

(7 баллов) В пространстве расположены отрезки AA1, BB1 и CC1 с общей серединой M. Оказалось, что сфера ω, описанная около тетраэдра MA1B1C1, касается плоскости ABC в точке D. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника AB
Средняя
Стереометрия

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7

(7 баллов) Назовём два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходног
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7

Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором angle A=2angle B. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что AD+AE=BE. (А. Кузнецов)
Средняя
Планиметрия

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 2

(7 баллов) На координатной плоскости нарисована парабола y=x2. Для данного числа k>0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что диаго
Средняя
Планиметрия