ВСОШ 2024, 11 класс, задача 8
( баллов) В пространстве расположены отрезки , и с общей серединой . Оказалось, что сфера , описанная около тетраэдра , касается плоскости в точке . Точка — центр окружности, описанной около треугольника . Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Обозначим через центр окружности, описанной около треугольника , через — центр сферы (см. рис. ). При центральной симметрии относительно точки треугольник переходит в треугольник . Следовательно, точки и симметричны относительно точки , то есть — середина отрезка . Также мы получаем, что плоскости и параллельны. Тогда на прямой, проходящей через точку перпендикулярно этим плоскостям, лежат точки и , поэтому . Таким образом, — медиана в прямоугольном треугольнике , значит, , что и требовалось.
1) Отмечен центр окружности, описанной около треугольника , и центр сферы .
2.1) Доказано, что точка — середина отрезка .
2.2) Задача сведена к доказательству того, что .
3.1) Доказано, что точки лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскостям и .
3.2) Доказано, что .
Суммируются баллы за критерии из разных групп. Внутри одной группы баллы не суммируются.