ВсОШ 2022, 10 и 11 классы, задача 2
Источник:
Дан квадратный трёхчлен . Докажите, что существуют попарно различные числа , и такие, что выполняются равенства
(Н. Агаханов)
Ответ
Решение. Пусть — абсцисса вершины параболы , так что прямая — ось симметрии параболы. Тогда для любых чисел и с суммой (т. е. таких, что точки и симметричны относительно ) выполнено . Таким образом, любая тройка попарно различных чисел , , таких, что , будет удовлетворять условию задачи. Можно взять, скажем, , , .
1-
За использование (очевидного) факта, что существует тройка (или пара) попарно различных чисел с заданной суммой, баллы не снижаются.
23
Сформулировано условие, эквивалентное равенству , т. е. показано, что означает или (иначе говоря, точки и симметричны относительно оси параболы).
Максимум: 7