ВСОШ 2024, 9 класс, задача 10
( баллов) Существует ли натуральное число такое, что десятичные записи чисел и отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел и должно быть поровну цифр , поровну цифр , , поровну цифр .)
(А. Чиронов)
Ответ
Ответ. Да.
Первое решение. Заметим, что числа и получаются друг из друга перестановкой цифр.
Пусть теперь . Положим . Заметим тогда, что
Иначе говоря, десятичная запись числа состоит из блоков , и (дважды), разделённых нулями; у числа же эти блоки суть , и (дважды). Поскольку количества разделяющих нулей в обоих случаях одинаковы, получаем, что число удовлетворяет требованиям.
Замечание. Подобная же конструкция сработает, если вместо и взять произвольные числа и , квадраты которых отличаются друг от друга перестановкой цифр, а вместо выбрать такое число , для которого числа и также отличаются друг от друга перестановкой цифр. Существуют и другие способы подобрать такие числа и .
Второе решение. Предположим, что нам удалось найти такое число (возможно, с ведущим нулём), что набор цифр в десятичной записи числа отличается от набора цифр в десятичной записи числа выкидыванием цифры и добавлением цифры (иначе говоря, если к числу приписать единицу, а к — четвёрку, то полученные числа отличаются перестановкой цифр). Тогда в качестве числа можно выбрать (где , и больше количества цифр в числе ). Действительно, имеем
и мы опять видим, что эти числа состоят из блоков и , разделённых нулями, а блоки получаются друг из друга перестановкой цифр.
Осталось найти такое число . Если, например, потребовать, чтобы запись числа получалась из записи числа циклическим сдвигом и заменой на , то такое число нетрудно найти, выписывая его цифры с конца. Подойдёт, например, число ; тогда .
Замечание. Это решение, разумеется, также допускает вариации.
Верное решение.