ВсОШ 2024, 9, 10, 11 классы, задача 1
( баллов) У Олега есть набор из различных клетчатых прямоугольников размеров , , , , (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше ?
(О. Подлипский)
Ответ
Ответ. Не может.
Решение. Предположим противное, и пусть — наибольшая из длин выбранных прямоугольников. Тогда составлен клетчатый квадрат , где . Значит, его площадь не менее . С другой стороны, его площадь не больше, чем суммарная площадь всех прямоугольников , , , , , т.е. не больше . Противоречие.
Замечание. Расположив в квадрате прямоугольники , , , , «лесенкой» можно увидеть без вычислений, что их суммарная площадь меньше площади всего квадрата.
Только ответ «не может».
Только идея рассмотреть самый длинный из использованных прямоугольников (длины ).
Есть идея рассмотреть самый длинный прямоугольник, и замечено, что площадь, покрытая остальными использованными прямоугольниками, должна быть не меньше, чем (или эквивалентное утверждение, например, что площадь всего квадрата должна быть не меньше, чем ), без дальнейшего содержательного продвижения.
Есть идея рассмотреть самый длинный прямоугольник, и замечено, что суммарная площадь всех использованных прямоугольников не превосходит , без дальнейшего содержательного продвижения.
Есть идея рассмотреть самый длинный прямоугольник, и явно сказано, что суммарная площадь всех использованных прямоугольников меньше .
Баллы, перечисленные выше, не суммируются друг с другом.
Если во в целом верном решении рассмотрен лишь случай квадрата со стороной (а не больше).