ВСОШ 2024, 10 класс, задача 7

Простая
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2024, 10 класс, Второй тур

( баллов) Петя утверждает, что он написал подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от до ) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?

(П. Кожевников)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Могли.

Решение. Примером могут служить числа вида , , , , , , , , , , где .

Замечание 1. Ясно, что в качестве можно взять любое число, состоящее из одинакового количества цифр .

Замечание 2. На самом деле, можно показать, что все возможные примеры устроены так, как указано в замечании 1.

1

Есть ответ без предъявления примера.

0
2

Есть верный пример.

7
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Можно ли число 2023 представить в виде суммы трёх натуральных чисел a, b, c таких, что a делится на b+c и b+c делится на b-c+1? (А. Кузнецов)
Простая
Теория чисел

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 2

На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число N. Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел? (И. Ефремов)
Простая
Теория чисел

ВсОШ 2022, 9 и 11 классы, задача 6

Последовательность чисел a1,a2,ldots,a2022 такова, что an-akge n3-k3 для любых n и k таких, что 1le nle 2022 и 1le kle 2022. При этом a1011=0. Какие значения может принимать a2022? (Н. Агаханов)
Простая
Алгебра

ВсОШ 2023, 9, 10 классы, задача 2

(7 баллов) Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны 5 см, 12 см и 13 см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см2) численно равна периметру (измеренному в см)? (Д. Храмцов)
Простая
Планиметрия