ВсОШ 2023, 9, 10 классы, задача 2
( баллов) Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны см, см и см. Можно ли разрезать его на несколько (больше одного) многоугольников, у каждого из которых площадь (измеренная в см) численно равна периметру (измеренному в см)?
(Д. Храмцов)
Ответ
Ответ. Нельзя.
Решение. Многоугольник, у которого площадь (измеренная в см) численно равна периметру (измеренному в см), назовём хорошим.
Заметим, что исходный треугольник — хороший: он прямоугольный с катетами см и см, поэтому его площадь равна см и численно совпадает с его периметром, равным см.
Если какой-то многоугольник разбит на хорошие многоугольники, то площадь , равная сумме площадей всех многоугольников разбиения, совпала бы численно с суммой периметров многоугольников разбиения. Но сумма этих периметров больше периметра (на удвоенную сумму длин общих частей границ многоугольников разбиения). Получаем, что площадь больше его периметра.
Значит, никакой хороший многоугольник, в том числе данный треугольник, нельзя разрезать на несколько (больше одного) хороших многоугольников.
Только замечено, что исходный треугольник хороший.
Показано только, что хороший многоугольник не разбивается на хорошие.