ВСОШ 2024, региональный этап, 11 класс, задача 5
( баллов) Уравнение имеет положительные решения . Докажите, что .
(М. Антипов)
Ответ
Решение. Обозначим , , и перепишем уравнение в виде:
Заметим, что и .
Дальше, перепишем уравнение в виде
откуда сразу следует, что все его корни строго больше .
Добавим к каждой части , уравнение превратится в
где , . Если обозначить , то получим однородное уравнение , из которого следует, что , где , .
Дальше, каждое из уравнений можно переписать в виде . Эти уравнения различны, и каждое из них имеет два различных положительных корня, так как исходное уравнение имеет различных положительных корня. Из этого следует, что .
Так как функция строго убывает при (это несложно показать, например, взяв производную), то .
Теперь уже легко вычислить и упорядочить :
значит, .
Замечание. Из доказательства следует, что оценка точна, то есть разницу можно сделать сколь угодно близко к .