ВСОШ 2024, 11 класс, задача 5

Решение. Обозначим , , и перепишем уравнение в виде:

Заметим, что и .

Дальше, перепишем уравнение в виде

откуда сразу следует, что все его корни строго больше .

Добавим к каждой части , уравнение превратится в

где , . Если обозначить , то получим однородное уравнение , из которого следует, что , где , .

Дальше, каждое из уравнений можно переписать в виде . Эти уравнения различны, и каждое из них имеет два различных положительных корня, так как исходное уравнение имеет различных положительных корня. Из этого следует, что .

Так как функция строго убывает при (это несложно показать, например, взяв производную), то .

Теперь уже легко вычислить и упорядочить :

значит, .

Замечание. Из доказательства следует, что оценка точна, то есть разницу можно сделать сколь угодно близко к .