ВсОШ 2023, 10 класс, задача 8
( баллов) Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . На стороне выбрана точка так, что . Отрезки и пересекаются в точке . На продолжении отрезка за точку отмечена точка . Известно, что четырёхугольник — вписанный. Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Первое решение. Поскольку — биссектриса угла , отрезки и равны как хорды, стягивающие равные дуги (см. рис. ). Теперь достаточно доказать, что (тогда , значит, — прямоугольный треугольник, и — его медиана, проведённая из прямого угла).
Так как , треугольник — равнобедренный (симметричный относительно серединного перпендикуляра к ). Отметим на стороне точку так, что . Из симметрии треугольника имеем . Тогда имеем и , значит, — средняя линия треугольника , значит, , что завершает решение.
Второе решение. Пусть .
Заметим, что — биссектриса угла . Действительно, продлим до пересечения с в точке (см. рис. ). Тогда, используя подобия и , имеем . Из полученного равенства вытекает, что — биссектриса треугольника . Отсюда .
Из вписанности имеем , а из параллельности следует . Поэтому , значит, четырёхугольник — вписанный. Отсюда .
Из вписанности . Тогда , что и требовалось доказать.
Замечание. Отметим, что в решении при доказательстве того, что — биссектриса угла , не использовалось то, что — биссектриса угла . А при доказательстве вписанности не использовалось также равенство .
В случае, если задача не решена, оцениваются следующие продвижения. Баллы за продвижения суммируются с указанным ограничением.
Доказано, что .
Доказано, что .
Доказано, что является биссектрисой угла .
Доказано, что четырёхугольник вписанный.
За другие начальные продвижения, например, за доказательство равнобедренности треугольника или за равенство , баллы не добавляются.