ВсОШ 2023, 10, 11 классы, задача 3

Решение. Предположим противное, и пусть в множестве всех школьников есть различные -элементные подмножества (множества участников каждой олимпиады) такие, что пересечение любых из них непусто, а пересечение всех — пусто.

Пусть среди множеств нашлись два множества и , имеющие общих элементов . Для каждого элемента среди множеств найдём подмножество , не содержащее (такое подмножество найдётся, иначе — общий элемент множеств ). (Заметим, что среди подмножеств могут быть совпадающие.) Тогда пересечение не более подмножеств — пусто. Это противоречит нашему предположению (к данным подмножествам можно добавить ещё несколько, чтобы стало подмножеств, при таком добавлении пересечение остаётся пустым).

Значит, указанных двух множеств и не найдётся. Тогда пересечение любых двух из множеств содержит в точности элементов. Пусть , так что , . Найдём подмножество (пусть, для определённости, это подмножество — ), не содержащее . Так как , то обязано содержать все элементы . Этих элементов (все они различны), поэтому . Рассмотрим любое подмножество из подмножеств . Предположим, что содержит элемент, лежащий вне -элементного множества . Тогда должно пересекаться с каждым из подмножеств по одному и тому же -элементному подмножеству множества . Но , значит, такого -элементного подмножества не существует — противоречие. Отсюда делаем вывод, что все множества являются подмножествами множества . Но в множестве количество -элементных подмножеств равно . Получаем противоречие, завершающее решение задачи.